UNIVERSIDAD NACIONAL
AUTONOMA DE
MEXICO
METODO DE RUNNGE – KUTTA PARA EDO’S. DE
CUARTO ORDEN
Métodos numéricos 2
Profesora: Teresa Carrillo
Alumnos:
Ríos Pérez Miguel Antonio
López
Hernández Iván
1.-MODELADOS Y SIMULADORES.
El estudio
de los procesos dinámicos y sus sistemas de control, debe iniciarse con la
obtención de una representación matemática de las relaciones existentes entre
las diferentes variables involucradas en el proceso a controlar, a la que usualmente
se denomina modelo del sistema.
El proceso
de modelado de un sistema dinámico, puede llevar a la obtención de una
representación para el mismo por medio de una ecuación diferencial de orden
alto, o por un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden no
lineales, cuya solución se debe obtener para conocer la respuesta temporal del
sistema, a partir un conjunto de condiciones iniciales y una entrada dada. La
solución analítica de una ecuación diferencial lineal puede ser fácil, de
varias ya presenta dificultades y de muchas es prácticamente imposible.
Si las ecuaciones diferenciales son no
lineales, el resolver una sola es muy difícil y varias o muchas es imposible
por medios analíticos. Como es normal que el modelo obtenido para el sistema que
se desea analizar, esté constituido por varias ecuaciones diferenciales no
lineales, este solamente puede resolverse con la ayuda de un programa de
simulación digital. Para el desarrollo de un programa de simulación de sistemas
dinámicos, es necesario entonces contar con un método de solución de ecuaciones
diferenciales.
1.1.- Métodos para la solución del problema
Se requiere solucionar la ecuación diferencial:
dy/dt =
(1)
para encontrar y en
una secuencia de valores de la variable independiente t {ti} dentro de un intervalo de solución [to, tf] donde f(y, t) es una función no lineal cualquiera. La obtención de la
solución de (1) es conocida como el problema del valor inicial en la solución de
ecuaciones diferenciales y para esto, se dispone de dos tipos de métodos de
solución:
1. Métodos en los
cuales f(y, t) será evaluada
solamente en los puntos (yi, ti),
donde yi es el valor de y en t
= ti y que se denominan Métodos de
integración numérica.
2. Métodos en los cuales f(y,
t) será evaluada además, en puntos distintos de (yi, ti) y que se denominarán Métodos del tipo Runnge – Kutta.
En la obtención de los métodos numéricos para la solución de
las ecuaciones es importante considerar entonces:
1. cuanto error se comete en cada paso del cálculo y cómo
afecta este los pasos siguientes, esto es, cómo se propaga el error
2. la habilidad del método para estimar el error en una
etapa de cálculo, en función de los resulta- dos obtenidos
3. la iniciación del método (se conoce la condición inicial
y0 pero como se verá, algunos métodos numéricos requieren conocer además, los
valores de y en más de un punto anterior para calcular el siguiente).
4. la velocidad del método. En la presentación siguiente de
los diferentes métodos de solución de ecuaciones diferenciales, se considerará
la solución de una sola ecuación diferencial no lineal de primer orden, sin
embargo todos ellos son fácilmente extensibles al caso de un conjunto de ecuaciones
diferenciales de primer orden no lineales simultáneas, considerando a todas las
variables y ecuaciones como vectores. Si
el modelo está representado por una ecuación diferencial de orden alto, es
necesario convertirla primero en un conjunto de ecuaciones diferenciales de
primer orden simultáneas para su solución.
Los métodos del tipo Runge-Kutta se caracterizan por
1. ser auto iniciables.
2. requerir solamente información del punto n para calcular
la solución en el punto n+1
3. evaluar en cada iteración la función (derivada) tantas veces
como el orden del método
4. por no poseer forma de estimar en error cometido, a menos
que se utilicen simultáneamente dos métodos de distinto orden. En los métodos
del tipo Runge-Kutta el número de veces que es necesario evaluar la ecuación diferencial
es igual al orden del método, lo cual repercute directamente sobre su
velocidad. Sin embargo a medida que
aumenta el orden del método, este tiene una mayor exactitud para un paso de
integración dado, por lo que será posible utilizar un paso de integración mayor
para un grado de exactitud deseado.
1.2.- Método de Runnge- Kutta de 4to orden
El método de Runge-Kutta de cuarto orden, es el utilizado
con más frecuencia en la simulación de los sistemas dinámicos y sus ecuaciones son
El error por truncamiento de este método es O(∆t^5) , siendo
además mucho más estable que los anteriores.
Existen varios métodos Runge-Kutta de 4º orden. Además del anterior, cuyos coeficientes se
atribuyen a Kutta, existe el Runge-Kutta-Gill en que se minimiza la memoria
utilizada, el Runge-Kutta-Ralston en el que se minimiza el error por
truncamiento, el Runge-Kutta-Merson que es una extensión para hacerlo de paso
variable, esto a costa de una evaluación adicional de las ecuaciones del
sistema para poder estimar el error y tomar decisiones sobre el tamaño del paso
y otros más.
1.3.- Precisión del método
El tamaño del paso de integración utilizado para la solución
de la ecuación diferencial, afecta di- rectamente la exactitud de la
misma. Normalmente se desea emplear el
paso de integración mayor posible para obtener una solución rápida, pero no tan
grande que introduzca errores apreciables en esta. Al utilizar los métodos de integración de
paso fijo, es responsabilidad del usuario la selección del paso de integración
adecuado.
Oscilación
2.-Aplicación
Péndulo simple
Las leyes de newton nos llevan a obtener la ecuación
diferencial que describe el movimiento del péndulo. Generalmente esta se
resuelve de manera analítica teniendo en cuenta la aproximación de ángulos
pequeños, pero en este caso utilizaremos el método numérico llamado
Runnge-Kutta cuatro para resolver la ecuación de movimiento sin ninguna
restricción del ángulo de oscilación.
Es necesario mencionar las leyes de Newton, para justificar
cada variable:
Primera ley de Newton o Ley de la inercia
La primera ley del movimiento rebate la
idea aristotélica de que un cuerpo sólo puede mantenerse en movimiento si se le
aplica una fuerza. Newton expone que:
Todo cuerpo persevera
en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que sea
obligado a cambiar su estado por fuerzas impresas sobre él.
Esta ley postula, por tanto, que un
cuerpo no puede cambiar por sí solo su estado inicial, ya sea en reposo o
en movimiento rectilíneo uniforme, a menos que se aplique una fuerza o
una serie de fuerzas cuyo resultante no sea nulo sobre él. Newton toma en
cuenta, así, el que los cuerpos en movimiento están sometidos constantemente a
fuerzas de roce o fricción, que los frena de forma progresiva, algo novedoso
respecto de concepciones anteriores que entendían que el movimiento o la
detención de un cuerpo se debía exclusivamente a si se ejercía sobre ellos una
fuerza, pero nunca entendiendo como está a la fricción.
En consecuencia, un cuerpo con
movimiento rectilíneo uniforme implica que no existe ninguna fuerza externa
neta o, dicho de otra forma; un objeto en movimiento no se detiene de forma
natural si no se aplica una fuerza sobre él. En el caso de los cuerpos en
reposo, se entiende que su velocidad es cero, por lo que si esta cambia es
porque sobre ese cuerpo se ha ejercido una fuerza neta.
La primera ley de Newton sirve para
definir un tipo especial de sistemas de referencia conocidos como Sistemas de
referencia inerciales, que son aquellos sistemas de referencia desde los que se
observa que un cuerpo sobre el que no actúa ninguna fuerza neta se mueve con
velocidad constante.
En realidad, es imposible encontrar un
sistema de referencia inercial, puesto que siempre hay algún tipo de fuerzas
actuando sobre los cuerpos, pero siempre es posible encontrar un sistema de
referencia en el que el problema que estemos estudiando se pueda tratar como si
estuviésemos en un sistema inercial. En muchos casos, por ejemplo, suponer a un
observador fijo en la Tierra es una buena aproximación de sistema inercial. Lo
anterior porque a pesar que la Tierra cuenta con una aceleración traslacional y
rotacional estas son del orden de 0.01 m/s^2 y en consecuencia podemos
considerar que un sistema de referencia de un observador dentro de la
superficie terrestre es un sistema de referencia inercial.
Segunda ley de Newton o Ley de fuerza
La segunda ley del movimiento de Newton
dice que:
El cambio de
movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea
recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime.
Esta ley explica qué ocurre si sobre un
cuerpo en movimiento (cuya masa no tiene por qué ser constante) actúa una
fuerza neta: la fuerza modificará el estado de movimiento, cambiando la velocidad
en módulo o dirección. En concreto, los cambios experimentados en el momento lineal de un cuerpo son proporcionales a
la fuerza motriz y se desarrollan en la dirección de esta; las fuerzas son
causas que producen aceleraciones en los cuerpos. Consecuentemente, hay
relación entre la causa y el efecto, la fuerza y la
aceleración están relacionadas. Dicho sintéticamente, la fuerza se define
simplemente en función del momento en que se aplica a un objeto, con lo que dos
fuerzas serán iguales si causan la misma tasa de cambio en el momento del
objeto.
En términos matemáticos esta ley se
expresa mediante la relación:
Donde:
Suponiendo que la masa es constante y
que la velocidad es muy inferior a la velocidad de la luz8 la ecuación anterior se puede
reescribir de la siguiente manera:
Sabemos que
es el momento lineal, que se puede escribir m.V
donde m es la masa del cuerpo y V su velocidad.
Consideramos a la masa constante y
podemos escribir
aplicando
estas modificaciones a la ecuación anterior:
La fuerza es el producto de la masa por la aceleración, que es la ecuación fundamental de la
dinámica, donde la constante de proporcionalidad, distinta para cada cuerpo, es
su masa de inercia. Veamos lo
siguiente, si despejamos m de la ecuación anterior obtenemos que m es la
relación que existe entre
y
. Es decir la relación que hay entre la fuerza aplicada al
cuerpo y la aceleración obtenida. Cuando un cuerpo tiene una gran resistencia a
cambiar su aceleración (una gran masa) se dice que tiene mucha inercia. Es por
esta razón por la que la masa se define como una medida de la inercia del
cuerpo.
Por tanto, si la fuerza resultante que
actúa sobre una partícula no es cero, esta partícula tendrá una aceleración
proporcional a la magnitud de la resultante y en dirección de ésta. La
expresión anterior así establecida es válida tanto para la mecánica clásica como para
la mecánica relativista, a pesar de que la
definición de momento lineal es diferente en las dos teorías: mientras que la
dinámica clásica afirma que la masa de un cuerpo es siempre la misma, con
independencia de la velocidad con la que se mueve, la mecánica relativista establece
que la masa de un cuerpo aumenta al crecer la velocidad con la que se mueve
dicho cuerpo.
De la ecuación fundamental se deriva
también la definición de la unidad de fuerza o newton (N). Si la masa y la aceleración
valen 1, la fuerza también valdrá 1; así, pues, el newton es la fuerza que
aplicada a una masa de un kilogramo le produce una aceleración de 1 m/s². Se
entiende que la aceleración y la fuerza han de tener la misma dirección y
sentido.
La importancia de esa ecuación estriba
sobre todo en que resuelve el problema de la dinámica de determinar la clase de
fuerza que se necesita para producir los diferentes tipos de movimiento: rectilíneo uniforme (m.r.u), circular
uniforme (m.c.u) y uniformemente acelerado (m.r.u.a).
Si sobre el cuerpo actúan muchas
fuerzas, habría que determinar primero el vector suma de todas esas fuerzas.
Por último, si se tratase de un objeto que cayese hacia la tierra con una
resistencia del aire igual a cero, la fuerza sería su peso, que provocaría una
aceleración descendente igual a la de la gravedad.
Tercera ley
de Newton o Ley de acción y reacción
Con toda acción
ocurre siempre una reacción igual y contraria: quiere decir que las acciones
mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en sentido opuesto.
La tercera ley de Newton es
completamente original (pues las dos primeras ya habían sido propuestas de
otras maneras por Galileo, Hooke y Huygens) y hace de las leyes
de la mecánica un conjunto lógico y completo. Expone que por cada fuerza
que actúa sobre un cuerpo (empuje), este realiza una
fuerza de igual intensidad, pero de sentido contrario sobre el cuerpo que la
produjo. Dicho de otra forma, las fuerzas, situadas sobre la misma recta,
siempre se presentan en pares de igual magnitud y de dirección, pero con
sentido opuesto.
Este principio presupone que la
interacción entre dos partículas se propaga instantáneamente en el espacio (lo
cual requeriría velocidad infinita), y en su formulación original no es válido
para fuerzas electromagnéticas puesto que estas no se propagan por el espacio
de modo instantáneo sino que lo hacen a velocidad finita "c".
Es importante observar que este
principio de acción y reacción relaciona dos fuerzas que no están aplicadas al
mismo cuerpo, produciendo en ellos aceleraciones diferentes, según sean sus
masas. Por lo demás, cada una de esas fuerzas obedece por separado a la segunda
ley. Junto con las anteriores leyes, ésta permite enunciar los principios de conservación del momento lineal y del momento angular.
2.1.- Planteamiento del problema
Teniendo en cuenta las observaciones
anteriores, pasamos a la ecuación diferencial a resolver que se obtiene a partir
de la descomposición de fuerzas en el sistema, y no tomaremos en cuenta los
efectos de la fricción.
Además:
Consideremos un péndulo compuesto en rotación alrededor de un eje fijo.
Cuando se separa un ángulo q de la posición de equilibrio y se suelta, sobre el sólido actúa el momento del peso, que tiene signo contrario al desplazamiento.
|
|
La ecuación de la dinámica de rotación se escribe
IOa = -mgLsen(q) Donde L es la distancia entre el centro de masa y el centro de oscilación O. |
Luego entonces tenemos la diferencial:
Donde
es la fuerza tangencial,
es la gravedad, L es
la longitud de la cuerda y
el angulo inicial.
si sustituimos:
se tendrá el sistema de ecuaciones
diferenciales de primer orden en forma canónica:
Y los pasos para
Runnge-Kutta serán:
a partir de lo anterior obtenemos la
posición angular y la velocidad respectivamente:
Cabe mencionar que K es dependiente de
L y viceversa.
3.- Implementación y solución en C++
A continuación se muestra el código en
C++, en el cual implementamos la librería: “winbgim.h”, con la cual logramos
las gráficas para el claro entendimiento de la solución.
Y en orden de ejecución:
Tenemos entonces un sistema oscilante y
periódico, como era lo esperado.
Gracias.
Bibliografía
Burden, R.L. y J.D. Faires (1998) – Análisis Numérico, Sexta
Edicíón, México, International Thompson Editores.
·
Newton. Vida, pensamiento y obra, col. Grandes
Pensadores, Planeta DeAgostini-El Mundo/Expansión, Madrid, 2008.
·
Pickover, Clifford A., De Arquímedes a Hawking. Las leyes de la
ciencia y sus descubridores, Crítica, Barcelona, 2009. ISBN 978-84-9892-003-1
